¿Cómo es que una hormiga vista desde muy cerca parece ser del mismo tamaño que un elefante muy distante? ¿Será que se encogen los objetos cuando se alejan de nosotros y vuelven a crecer cuando se nos acercan?
Convencionalmente, aceptamos que la respuesta a la segunda pregunta es negativa; las cosas no cambian de tamaño simplemente por haberse trasladado de un lugar a otro. Pero si esto no es lo que sucede, ¿cómo se puede responder a la primera pregunta? Aunque se trata de un cuestionamiento muy sencillo, la respuesta a dicha pregunta resulta ser muy interesante y tiene que ver con la manera en la que el cerebro, el sentido de la vista y la trigonometría trabajan juntos.
Primero pensemos en lo siguiente: cuando se dice que el tamaño (altura) de un elefante es de 4 m, por ejemplo, nos referimos a que si se coloca una cinta métrica al lado del elefante, este llega desde el inicio de la cinta hasta la marca de 4 m. No hay ningún problema con realizar esta medición siempre y cuando el elefante nos permita acercarnos a él para comparar su tamaño con nuestro instrumento de medición. En nuestras vidas diarias, generalmente podemos medir a los objetos siguiendo este procedimiento, pero ¿qué se puede hacer para medir el tamaño de objetos a los que no es posible acercarse y colocar una cinta métrica al lado de ellos? Por ejemplo: ¿cómo se puede conocer el diámetro de la Luna, del Sol o de algún otro astro?
Es aquí en donde entra a escena el arte de la trigonometría acompañada por un concepto fundamental en la astronomía: el tamaño angular. Si se observa a un objeto de tamaño A desde una distancia D, el tamaño angular de este objeto se define como el ángulo Φ marcado en la figura 1.
Figura 1. Definición de tamaño angular.
En términos matemáticos, la relación entre el tamaño físico de un objeto, la distancia desde la que se observa y su tamaño angular se puede describir con la función Tangente de acuerdo con la siguiente ecuación:
Podemos decir que la evolución se ha encargado de que aprendamos trigonometría básica, pues el cerebro toma como referencia el conocimiento empírico del tamaño físico de las cosas junto a la medición de sus tamaños angulares (realizada con el sentido de la vista) para darnos la noción de la distancia a la que nos encontramos de alguna cosa, lo cual resulta ser muy útil en la cotidianeidad. Sin embargo, no debemos confiar demasiado en nuestros sentidos o terminaremos creyendo que las hormigas pueden ser del mismo tamaño que los elefantes y es que esto es posible en términos de sus tamaños angulares como se explica con las siguientes figuras.
Figura 2. La altura de una hormiga y de un elefante (no a escala).
Supongamos que una hormiga y un elefante miden aH y aE de altura respectivamente (ver figura 2) y que colocamos a la hormiga a una distancia xH de nosotros y al elefante lo alejamos a una distancia xE. Además, se eligen estas distancias de manera que se cumpla la ecuación:
Entonces el tamaño angular de la hormiga será igual que el tamaño angular del elefante (ver la primera ecuación). La siguiente figura muestra cómo se vería este experimento.
Figura 3. Hormiga y elefante con el mismo tamaño angular.
Ahora es posible responder la pregunta del inicio: una hormiga cercana parece ser del mismo tamaño que un elefante lejano porque es posible que sus tamaños angulares sean iguales y esto da lugar a la ilusión óptica de verlos como si midieran lo mismo.
Con observaciones astronómicas, es relativamente sencillo medir los tamaños angulares de cuerpos celestes si se mide el ángulo por el que es necesario girar el instrumento de observación para ir de un extremo al otro del astro en cuestión. Esto se realizaba desde la antigüedad con instrumentos como dioptras, alidadas, astrolabios, etc. Por otro lado, medir la distancia a la que se encuentra un astro no es tan sencillo y es hasta la fecha uno de los problemas más relevantes en la astrofísica y la cosmología. Lo importante para este artículo es que es posible hacerlo por medio de distintos métodos dependiendo del objeto que se observe. Así, una vez que se conoce el tamaño angular de un cuerpo celeste y la distancia a la que se encuentra, es posible calcular el tamaño físico de este astro utilizando la primera ecuación del artículo.
Un caso muy interesante es el del Sol y la Luna, pues de manera similar al elefante y la hormiga de la figura 3, el diámetro del Sol es aproximadamente 400 veces mayor que el de la Luna, pero la distancia al Sol también es mayor que la distancia a la Luna por un factor de más o menos 400. Esto quiere decir que sus tamaños angulares al ser observados desde la Tierra son muy parecidos y esto es lo que permite que los eclipses solares sucedan. Curiosamente, la relación real entre el tamaño de una hormiga y un elefante mediano es muy parecida a la relación de tamaño entre la Luna y el Sol.
La razón por la que a veces hay eclipses totales y otras veces anulares es que la órbita de la Luna alrededor de la Tierra es elíptica, por lo tanto, la distancia a la Luna oscila y también lo hace su tamaño angular. Cuando la Luna se aleja lo suficiente para que su tamaño angular sea menor que el del Sol es cuando solo pueden haber eclipses anulares, mientras que cuando se encuentra más cerca y su tamaño angular es mayor o igual que el del Sol es cuando pueden haber eclipses totales.
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